@techreport{Hoetter2014, author = {Michael H{\"o}tter}, title = {Entwicklung von Verfahren zur visuellen Beurteilung von Stabilit{\"a}tseigenschaften nichtlinearer, zeitdiskreter Systeme}, doi = {10.25968/opus-625}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:960-opus4-6254}, pages = {71}, year = {2014}, abstract = {In dieser Arbeit werden Verfahren zur visuellen Beurteilung von Stabilit{\"a}tseigenschaften nichtlinearer, zeitdiskreter Systeme und m{\"o}gliche Anwendungen vorgestellt. Ausgehend von den erforderlichen Grundbegriffen der Chaostheorie werden verschiedene Ma{\"s}e zur Detektion, Beschreibung und Visualisierung chaotischen Systemverhaltens motiviert, mathematisch definiert, physikalisch interpretiert und gedeutet: der Lyapunov Exponent, die Entropie, das Fourierspektrum und die Korrelation. Als erste Anwendung basierend auf diesen G{\"u}tema{\"s}en wird das Verhalten von linearen und nichtlinearen rekursiven Systemen visualisiert und verglichen. Es zeigt sich, dass bei rekursiven linearen Systemen der {\"U}bergang von einem stabilen in einen instabilen oder chaotischen Zustand kontinuierlich erfolgt, w{\"a}hrend dieser {\"U}bergang bei nicht linearen Systemen h{\"a}ufig abrupt auftritt. Unter Verwendung der vorgestellten Visualisierung l{\"a}sst sich sehr genau nachvollziehen, welche Parameter und insbesondere welche Parameter{\"u}berg{\"a}nge dabei kritisch sind. Diese Kenntnis ist sehr wichtig f{\"u}r eine st{\"o}rfreie Systemparametrierung und eine erforderliche Arbeitspunktsuche. In einer zweiten Anwendung wird chaotisches Systemverhalten als Generator optimal orthogonaler Signalfunktionen eingesetzt. Dazu wird die Rekursionsfolge in einem chaotischen Arbeitspunkt eines nichtlinearen rekursiven Systems als Musterfunktion eines statistischen Zufallsprozesses interpretiert: Je chaotischer das Systemverhalten und je kleiner die Varianz des Korrelationsma{\"s}es desto besser k{\"o}nnen orthogonale Signalfolgen modelliert werden. Solche Signalfolgen sind von gro{\"s}er Bedeutung, wenn digitale Nachrichten {\"u}ber einen gest{\"o}rten Kanal mit minimalem Daten- und Energieaufwand {\"u}bertragen werden sollen. Als abschlie{\"s}endes Beispiel wird die fraktale Bildcodierung vorgestellt. Sie beruht nicht wie die klassischen Verfahren der Bildcodierung (Pr{\"a}diktion, Transformation) auf statistischen Eigenschaften des Bildsignals sondern ausschlie{\"s}lich auf Selbst{\"a}hnlichkeit. Die Bildpunkte eines Bildblockes werden nicht durch deren Grauwerte sondern durch ein Fraktal beschrieben, wobei dieses Fraktal durch eine kontraktive, affine Abbildung der Grauwertinformation dargestellt wird. Dieses Fraktal, d.h. diese Abbildungsvorschrift oder Gesetzm{\"a}{\"s}igkeit beschreibt die vollst{\"a}ndige Information des Bildes. Durch die Anwendung dieser fraktalen Darstellung wird das codierte Bild aus beliebigen Bildern gleicher Gr{\"o}{\"s}e generiert.}, language = {de} }